shfe网友关于甲乙互相清光的概率问题并不难算

luckystar

我相信大家初中的时候肯定都会做

                               
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。我在这里只提供一个思路。先考虑甲有1元，乙有２元的情况。乙把甲清光的概率是Y，反过来甲把乙清光的概率就是（１－Y）。简单的等式：Y=０.５+０.５（１－Y）。 我们很快得出Y=２／３。在考虑甲有1元，乙有３元的情况。Y=０.５+０.５x０.５， 因此Y=３／４。接下来大家很快可以得出（具体从略）：乙有４元，Y=４／５；乙有５元， Y=５／６；甲和乙互相把对方清光的概率和双方的初始筹码量完全一致。

伟大的墙

这个比较简单，要是加上概率和EV呢。还是我在另一个帖子里的例子。我说仔细点A有10万赌资，B有1万。两个人打2-5无限，每个人都买入了1000.这是个带ante的游戏，10人桌，每人ante是20元。这时候A拿了AA，翻牌前跟进20，B拿红桃78靠了。翻牌出来256，两红桃，A把余下的1000（980忽略这20）全进了，B见其他8个人都扔了后靠。概率大约是A48%对B52%，但两个人都是正EV那么假如把这个正EV的赌博再无限的重复下去。A把B余下的9000清光的机会多大，B把A余下的99000赢光的机会多大。重复规矩如下，输的人再自动买进1000，其他8个人post ante后自动扔牌。两个人手里同样的牌，同样的翻牌，然后无限重复下去。我凭感觉，A将有75%的时候清光B，25%自己被清。老霍等一定帮我好好算算，这个结论将非常重要。

maomaobiao

我觉得需要适当简化模型：第一：这里暂时不用考虑EV，只需要考虑每一次对赌的胜率即可。第二：Buying是多少其实已经不重要，只有BR在起作用。因为即使BR小的一方准备了多个Buying，但是其决定因素的仍然是双方BR的倍数，可以把多个Buying看成是1个buying赢了几次之后重新开始的一个“阶段”情况。第三：回归到之前的那个帖子，就是在每一个特定的“阶段”，破产和翻倍的概率不会发生变化，仍和每一次对赌的胜率相同。再作了上面的简化之后，以下对墙提出的较为复杂的模型进行进一步分析。假设双方的BR倍数为 m，每次对赌小BR玩家的胜率是 P，最终小BR玩家胜出的概率为 x。利用楼主luckystar提供的思路可以得到：x = P / [ m * ( 1 - P ) + P ]（大家还是需要检查一下）带入墙的条件可得小筹码胜出的概率为 9.8%，接近 1/11，大筹码为 90.2%的概率清空小筹码。当小筹码有技术上的优势，比如 60vs40，他的胜率可能提高，但是也只有可怜的 13%，大筹码则 87%可能情况空对手。当技术上有压倒性的优势，比如90vs10，小筹码的胜率才可能提高到 47.4%，接近翻硬币。---======---以上的简化，对于墙的问题存在一个不足，就是当大筹码输掉一个buying （不论他是否在某个阶段翻倍后再输掉），他无法reload 双倍买入，于是在桌子上就形成了“大BR小筹码”的情况，于是对赌时清空对方的概率将严重偏离 P。我想，这也是墙提问的关键之所在。这种形式的变体，需要对原有模型作改进，回头再想。

maomaobiao

接上面，由于reload上限的问题，我们可以发现，如果小BR玩家准备了多个buyin，那么：1）在输掉第一、二个buyin之后，将严重符合公式当 m = 2或3的情况。2）在大筹码输掉第一、二个buyin之后，也将严重符合 m = 1/2 或 1/3 的情况。姑且认为他们各自输掉第一、二个buyin的概率对等，那么，由于有reload的限制，他们互清的概率x将逐步接近对赌的胜率P （也就是技术带来的优势）。具体的算我懒得弄了。但是，即便如此，我们也可以得到一个非常重要的结论，那就是——对于某一个session，一上桌的头几个Buyin至关重要，如果能把 m 弄到 3以上，那么不管BR如何，大筹码将具有压倒性的优势。我知道我这里说的 BR和筹码量（带上桌的钱）有时候弄得不容易分清楚，大家凑和看吧。

伟大的墙

maomaobiao 发表于 2012-2-24 09:30接上面，由于reload上限的问题，我们可以发现，如果小BR玩家准备了多个buyin，那么：1）在输掉第一、二个 ...我觉得这个结论也差不多正确此案例正是多数人晚奥马哈遇到的情况。想拿1万去赢10万的财主，太难了。

Howard

好思路！补充一下，不知道是我没理解透，还是想岔了，我觉得甲1乙2，甲1乙3这两种情况，比较好解释，楼主也列出算式了。但是省略部分（甲1乙大于3）我觉得似乎不太直观呢。比如甲1乙4，乙清空甲的概率是Y第一次，乙有0.5概率直接把甲清空第二次，假如乙输了第一次（0.5），那么现在甲2乙3，这是个新情况，需要重新算。假设甲2乙3时乙清空甲概率为b，则乙输（0.5）后，变成甲3乙2，此时乙再清空甲，就变成了原来的甲清空乙，也即1-b，乙赢（0.5）后，变成甲1乙4，乙清空甲的概率又成了Y所以有 b=0.5（1-b）+ 0.5Y还是搞不出来。晕了，请楼主明示下。

Howard

伟大的墙 发表于 2012-2-24 01:38

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代入老墙的条件（A有10万赌资，B有1万。每次下1万。A48%对B52%。其他人的Ante就不考虑了）：P1=13.139992%P2=86.860008%若是A和B严格50%，P1本应该是1/11=9.0909%，现在因为小筹码的52vs48微弱优势，总概率大了4%左右

Howard

Howard 发表于 2012-2-25 01:51我没琢磨出来，作弊了。去wikipedia直接找到了答案。如有兴趣，请看http://en.wikipedia.org/wiki/Gamb ...唉，图片被zhiyoucheng.com遮盖了。不过估计大家对公式兴趣不大，我就懒得再处理了。

Howard

1:10的筹码比例，下表是小筹码的技术优势和他清空对手概率：技术优势%： 清空对手%52 13.1%55 20.4%60 33.7%65 46.2%66.65 50.0%70 57.1%75 66.7%80 75.0%85 82.4%90 88.9%95 94.7%98 98.0%红字可见，他优势须达到66.65%，才能跟一个10倍BR的对手扯平。

luckystar

Howard 发表于 2012-2-25 01:29好思路！补充一下，不知道是我没理解透，还是想岔了，我觉得甲1乙2，甲1乙3这两种情况，比较好解释，楼主 ...其实没那么复杂。至少有两种简单算法：１。科学归纳法。N=１ 结论成立。假设N=K时结论成立，能够推出N=K+１时也成立，则当N为任何整数是都成立。所以如果当N=K时，概率为：K／K+１，既甲赢了乙K元的概率为１／K+１。当N=K+１时，乙还剩下一元（既甲赢了乙K元）的概率为１／K+１。所以１－Y=（１／K+１）Y, 左右两端都是甲赢的概率。我们得出：Y=K+１／K+２。证毕。２。直接推算，以甲一元，乙四元为例：假设甲二元，乙三元时乙赢的概率为Z。我们有如下方程组：Y=０.５+０.５ZZ=０.５Y+０.５（１－Z）简单得出Y=４／５， Z=３／５。值得注意的是Z=３／５（甲二元，乙三元）!当乙为五，六。。。元时，过程会越来越复杂，但是方法同乙为四元时一样：多元方程组加上对称性。